ベルヌーイの定理をわかりやすく！例題付きでかんたん解説

機械分野では、流体力学として【ベルヌーイの定理】を勉強します。

基本的な考え方や法則について、例題を解きながらわかりやすく解説していきます。

それではさっそく参りましょう、ラインナップは目次からどうぞ 🙂

ベルヌーイの定理をわかりやすく！基本的な考え方

ベルヌーイの定理とは、単位時間内に流体では圧力が仕事をすることにより圧力エネルギーが加わることを示しています。

また、理想流体の定常流れにおいて、流線上でエネルギーが保存されることを示した定理とも言えるでしょう。

そして質量保存則と同じように、一般性のある法則として【エネルギー保存則】があります。

粘性や摩擦がなく、圧縮を考慮しない【理想気体】の定常流で、外力として重力だけが作用する場合に流線に沿って成り立つ【エネルギー保存則】が【ベルヌーイの定理】です。

一方、上記のような流管を考えるとき、AとBの面において、mを流体の質量流量(kg/s)、それぞれの位置水頭をz₁、z₂、圧力水頭p₁、p₂、速度水頭v₁、v₂、流体の密度をρとすると、ベルヌーイの定理は以下の式で表されます。

mgz₁+mp₁/ρ+(1/2)mv²₁=mgz₂+mp₂/ρ+(1/2)mv²₂=mgz+mp/ρ+1/2mv²=一定…①

そして、それぞれの式が表しているものは以下のとおりです。

また、①の式の各辺をmgで割ると、

z+p/ρg+v²/2g=一定…②

と表せます。

②の式において、zを位置水頭（位置ヘッド）、p/ρgを圧力水頭（圧力ヘッド）、v²/2gを速度水頭（速度ヘッド）とよび、その総和が全水頭（トータルヘッド）となります。

水頭とは、水の単位重量当たりの力学的エネルギーを水柱の高さで表すものだよ

①、②の式どちらも【ベルヌーイの定理】ですので覚えておきましょう。

ベルヌーイの定理をわかりやすく！例題でさらに理解を深めよう

それではココで、ベルヌーイの定理に関する例題を解いてみましょう。

ぜひチャレンジしてみてください。

【解答】

(1)①と②での質量は保存され、非圧縮性流体で密度は一定です。

よって連続の式より、

Q=A₁v₁=A₂v₂=1200cm³/s=1.2×10⁻³m³/s

断面積A₁とA₂は、問題の数値を使って以下のように求めることができます。

A₁=πd²₁/4=π×（5.0×10⁻²)²/4=1.96×10⁻³㎡

A₂=πd²₂/4=π×（7.5×10⁻²)²/4=4.42×10⁻³㎡

また上記の式より、v₁とv₂も求められます。

v₁=Q/A₁=1.2×10⁻³/1.96×10⁻³=0.612m/s

v₂=Q/A₂=1.2×10⁻³/4.42×10⁻³=0.271m/s

解答：v₁=0.612m/s、v₂=0.271m/s

(2)①と②の面でベルヌーイの定理を立てると、

z₁+(p₁/ρg）+v₁²/2g=z₂+(p₂/ρg）+v₂²/2g

問題で与えられている数値と、（1）で求めた数値を当てはめると、

0.25+5000/(1000×9.81)+(0.612)²/(2×9.81）=0.4+p₂/(1000×9.81)+(0.271)²/(2×9.81）

となります。

よってp₂について解いてみると、

p₂=5000-0.15×1000×9.81+｛(0.612)²-(0.271)²｝×500

=5000-1470+150

=3680Pa

解答：p₂=3680Pa

以上です。

【関連記事】

• 物理の【波】公式（波の伝わり方）｜基本がかんたんすぐ分かる
• 波の干渉について｜原理や条件かんたん解説（物理）
• 物理の波長グラフ（正弦波・縦波・横波）｜振動と波について

ありがとうございました。